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排列组合问题的案例研究

发布时间:2019-10-23  点击量:

作者:马秀伟
  【摘要】数学的排列组合问题知识体系与实际生活结合紧密,题型比较繁杂,解法灵活多变,数学思维严密性及逻辑性要求比较高,对学生分析推理问题能力具有较强的要求。通过案例的形式提供一种如何把抽象的排列组合问题具象化的思路,通过归纳问题的类型、挖掘问题的内在联系,形成系统化、体系化知识结构,提供给学生对于排列组合问题内在的解题规律和解题指导,帮助学生较好地掌握几类常见排列组合问题的解题策略。
  【关键词】数学 排列组合 解法
  一、引言
  数学的排列组合问题在高中阶段数学课程中与函数、三角计算、数列等内容的知识关联性不强,相对比较独立,是学习概率问题的知识基础和思维基础。学生对排列组合问题的学习存在一定的抵触和畏惧心理,原因在于其知识体系与实际生活结合紧密,基本上不存在套用公式及定式思维的内容,对学生分析推理问题能力、数学思维严密性及逻辑性要求比较高。因此,消除畏难情绪是提升学生对排列组合问题学习效果的重点工作,也是最大的难点。本文对排列组合问题涉列的题型进行了分析探究,形成案例,帮助学生找到内在的解题规律,提高学习兴趣和学习氛围。
  二、案例研究
  (一)站队问题
  案例一:7个人站成一队,问:
  1.共有多少种不同的站队方法?
  2.甲站中间,有多少种不同的站队方法?
  3.甲乙必须挨着,有多少种不同的站队方法?
  4.甲乙不能相邻,有多少种不同的站队方法?
  5.甲必须站在乙的右侧,有多少种不同的站队方法?
  分析过程:
  解题小结:站队问题为排列问题;有特殊要求的元素或者位置采用优限法,优先安排有要求的元素或位置,再安排其他元素;相邻问题分两步采用捆绑法,先进行整体排列,再局部排列;不相邻问题分两步采用插空法,先安排其他元素再把相邻元素进行插空。
  (二)数字问题
  案例二:
  1.用1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的三位数?
  2.用0、1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数?
  3.用1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的三位偶数?
  4.用1、2、3、4、5可以组成多少个三位数?
  分析过程:三位数的数位从高至低分别为百位、十位、个位。
  解题小结:解决数字问题时要重点审题是否数字可以重复,无重复情况属于排列问题,可重复情况数字个数不会减少;可选数字中含有0时,要注意0不能放在首位,一般有先考虑首位。
  (三)产品问题
  案例三:对某工厂生产产品进行检验,共100件,有2件次品,从中抽取3件,问:
  1.共有多少种不同的抽取方法?
  2.结果恰有1件次品的抽取方法有多少种?
  3.结果至少有1件次品的抽取方法有多少种?
  分析过程:100件产品含2件次品,则正品98件。  解题小结:抽取产品问题为组合问题,解题过程注意分步骤进行,此外在该类问题中至少、至多问题比较常见,如遇正向分析情况较多、计算任务较重,则采取逆向思维的方法,即用整体情况总数减去不符合事件的情况数。与产品问题相同的还有派人问题、摸球问题等。
  (四)投信问题
  案例四:
  1.要求把4封信邮寄出去,邮局有3个信箱,问:有多少种不同的投递方式?
  2.学校安排5名实习生做毕业实习,共有4家实习单位可供选择,问:有多少种不同的安排方式?
  3.有3名学生,假设按照365天计算,问:有多少种不同的过生日的日期方式?
  分析过程:
  解题小结:投信问题具有典型的代表性,属于可重复选择使用的问题,此类问题在解决过程中需要注意事件的對象是谁,按照事件的核心对象进行分步研究。与投信问题相同的问题还有旅店入住问题、过生日问题及编制电话号码问题等。
  (五)分配问题
  案例五:
  1.把5本不同的书分给5个学生,每人一本,问:有多少种不同的分配方案?
  2.把5本不同的书分给4个学生,每人至少一本,问:有多少种不同的分配方案?
  分析过程:
  另外,还有其他案例问题,在此不再赘述。
  三、结束语
  学生解排列组合问题过程中经常出现的错误情况有两个:一是对于“排列”与“组合”不能很好地区分,解题中出现混淆;二是数学解题与现实常规操作的差异性不能很好地把握,解题中出现“遗漏”和“重复”现象。笔者只是归纳了部分排列组合问题的案例,构建了引领式的案例解题模式,排列组合问题的应用还很广泛,解题思路灵活多变,本文不可能涵盖全面,通过案例研究希望帮助学生形成严密的数学思维、培养理论联系实际解决问题的能力、促进全面发展。
  参考文献:
  [1]白艳娟.关于排列组合的解法的探究[J].黑河教育,2018,(3):24.
  [2]孙晓莉.排列组合的常见题型与解法[J].河北理科教学研究,2018,(1):15.
  [3]王琼.排列组合应用题十一种解题策略[J].职业教育,2018,(23):78.
  [4]王鹏成.高中数学排列组合问题的相关探索[J].中外企业家,2018,(15):113.


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