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数学悖论发展概述

发布时间:2019-03-26  点击量:

作者:孙绍航
  【摘要】悖论是数学等自然科学和哲学中经常出现的话题,对各种自然科学和哲学做出了诸多贡献。从悖论的简介,悖论的历史,典型的悖论例子及悖论的影响来介绍悖论对于数学等科学和哲学方面的影响和贡献。
  【关键词】数学悖论 说谎者悖论 罗素悖论
  一、引言
  悖论也叫逆论和反论,指自相矛盾的荒谬结论。悖论是一个与数学物理等自然科学以及哲学、语言学息息相关的论题,对数学史的推进和发展起到了重要的作用。悖论主要有三种形式:第一种叫做佯谬,指的是某论断貌似一定是错误的,其实是正确的;第二种叫似是而非的悖论,指的是某种论断貌似一定是正确的,实际上是错误的;第三种叫做逻辑悖论,是指前提没有明显错误的情况下,经过一系列看似正确的推理,得出了两个完全相反的结论。本文将对数学悖论的历史、经典的数学悖论及数学悖论的影响进行简要介绍。
  二、数学悖论的历史
  第一次数学危机与毕达哥拉斯悖论有着密不可分的联系。毕达哥拉斯悖论产生的时代,数系正在从自然数向有理数进行扩充。当时的人们认为,所有数都可以由有理数来表示,即表示为两个整数的比值,但希帕索斯却发现了“等腰直角三角形的直角边和斜边不可公度”的悖论。相传希帕索斯在船上划出了一个边长为1的等腰直角三角形,而被毕达哥拉斯派的人扔进海里。正是这个发现引起了数学思想的巨大变革,数学史上将其称为“第一次数学危机”。此后,越来越多的悖论相继被提出,人类的数学思想因此也更进一步。
  三、经典的数学悖论
  1.说谎者悖论
  说谎者悖论最早被提出是在公元前六世纪。在一个叫做克里特岛的地方,有一面墙上写着一句话“写在这面墙上的话是假的”,这是这面墙上的唯一一句话。我们不妨设这句话所叙述的命题为Q,当人们对这句话的真假进行判断时就会陷入矛盾:如果Q为真,则墙上的这句话是真话,与话中“墙上的话是假的”矛盾;如果Q为假,则墙上的是假话,话中“墙上的话是假话”则是真话,也同样存在矛盾。以上便是说谎者悖论的完整内容。说谎者悖论中,“在这面墙上的话”来指代“这面墙上写的话是假的”是“以部分指代整体”,所以这种因部分的真实存在而违背了整体存在的辩证规律是由于主观虚构与思维混乱造成的,因为上述的辩证规律必须以客观存在为根据。说谎者悖论事实上是人类的认识发展到某一个层次后,对自己的语言进行的一种检讨思索,在世界各地古代的各种不同的书籍中也都有关于说谎者悖论的记载。中国的墨子曾说过一句话,大意是:若一句话为真话是成立的,那么这句话为真话也是假的。由此可见,说谎者悖论所涉及的语言问题是每一个民族在发展过程中都要经历的一个反思过程。
  2.罗素悖论
  在20世纪初,科学界都沉浸在一片宁静祥和中,当时的数学家普遍认为科学大厦已经基本建成,剩下的科学家只能對大厦进行一些点缀和修补。法国大数学家彭加莱更是曾公开宣称:数学的严格性已经实现了,然而时隔不到两年,罗素悖论的发现就结束了大家的美梦。罗素悖论是世界上最著名的悖论之一,它是由罗素在1902年提出的,是由罗素发现的一个集合论悖论。
  罗素在解决集合论问题时将集合分为两种:第一种是自身元素的集合,第二种集合为不是自身元素的集合。接下来,假设S是由一切不属于自身的集合所组成,即“S={x∣x ∈S}”。则S是否包含于S?如果假设S包含于S,则不符合题中x ∈S,所以S包含于S不成立;假设S不包含于S,于是就符合x ∈S,可推出S包含于S,但因为假设中S不包含于S,与S包含于S矛盾,所以假设也不成立。在悖论提出后,人们纷纷寻找着解决的办法,有些人希望对康托尔的集合论进行改造,通过对集合添加限制而排除悖论,但这需要建立新的规则,并且规则必须足够严格才能保证排除所有矛盾,但同时规则又必须尽可能广阔,才能令康托尔集合论原来的内容尽可能的留下来。1908年,策梅洛提出了第一个公理化集合论体系,在很大程度上弥补了集合论所体现出的漏洞,从而较为成功的解决了人类数学史的第三次危机。同时,罗素悖论的提出也促使人们开始再次研究基础数学。
  罗素悖论是如何被解决的呢?在研究的初级阶段,人们将罗素悖论认为是整体与部分的关系,部分学者认为罗素悖论混淆了整体与部分之间的关系,但在不断的研究中发现这种解释无法接近罗素悖论的实质,原因有以下几点:其一,如果罗素悖论可以认为是整体和部分之间关系的混淆,则可以用不矛盾律来进行排除,但事实上人们无法用不矛盾律排除这种可能性;其二,如果在康托尔集合论中出现逻辑矛盾,康托尔集合论体系应该可以自己解决,这种现象也同样适用于各种体系,但悖论却有不同,在集合论体系内出现的悖论在该集合论体系中是无法理解的,体系本身更无法合理的进行解释;其三,悖论在形式上与逻辑矛盾也有不同。悖论的含义是在某个知识体系出现一个命题Q时,由Q可以推导出非实际情况,而出现非Q命题时,Q可以由非Q推导出。而逻辑矛盾的形式意义是某一个知识系统里独立的出现Q和非Q两个命题,所谓独立是指Q和非Q两个命题是根据这个知识系统的不同的部分推出的互斥命题,Q不是从非Q推出的,非Q也不是从Q推出的。因此从形式上来看,悖论与逻辑矛盾也不能画上等号。
  罗素悖论的实质在于,它把康托尔集合论的知识发展到了集合论的有效领域外,在有效领域外罗素提出了他的悖论。康托尔集合论的主要理论基础是概括公理与外延公理。因此,康托尔公理具有了以下基本特征:其一是选集的任意性,即在一定的条件下一定会存在一个集合;其二是对于任意的条件,集合都是相互不同的,这说明集合论只对世界上界限分明的物体有效,而对那些似是非是的物体无效。罗素悖论的提出,促使人们对集合论进行了进一步的研究,引起了人们对数学基础理论的重视,所以被人们传颂,成为了世界上最有名的悖论之一。
  四、悖论的影响
  每一个悖论的提出都会引起人们对于已有观念的反思甚至重建,使人们重视起原来被忽视的一些问题,这就是悖论的意义。例如,毕达哥拉斯悖论的出现使人们意识到:当时的数系并不足以表示他们所能接触到的所有数字,所以出现了第一次数学危机,也借此对已有数系进行了扩充;说谎者悖论的提出,让人们意识到了语言系统还存在一些小的瑕疵,产生了逻辑矛盾的情况,促进了人们对于语言的完善丰富;罗素悖论的提出则使人发现集合论的有效范围是有限的,才让后人改进形成了可拓集合论,而其他诸如量子悖论等著名的悖论也都在不同的领域发挥了作用。人们在发现矛盾之后,从问题的本质出发,思考悖论在逻辑的本质上存在的矛盾,建立新的体系或者是在原有的体系上进行完善来避免这些矛盾的产生,从而使得体系变得更加完善,这就是悖论对于自然科学和哲学的影响。
  五、总结
  任何一个学科的发展历程都不是一帆风顺的,悖论就是一种促进学科发展的方式,虽然这种发展方式不太平稳,但是总能引起人们对于当时一些根深蒂固思想的革新。由于悖论可能导致人们对一些重要或是十分基础的理论做出怀疑,所以可能会引发人们的慌乱,但是在解决悖论的过程中,知识体系的扩充会给学术界带来新的知识与新的力量,在给人们带来慌乱之后,也给人们带来新的曙光。
  参考文献:
  [1]黄燕玲,代贤军.悖论对数学发展的影响[J].河池学院学报,2003,(4) :62.
  [2]陶理.关于数学悖论的认识问题[J].东北师大学学报,1993,(6) :80.
  [3]李建明,刘庆欧,郭东星.几个有趣的悖论的数学辨析[J].山西医科大学学报,2003,(s1).
  [4]孙萍.两个有趣的数学悖论[J].高等数学研究,2016,(6) :48.


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